02 Transformation

变换

线性变换

齐次坐标

缩放，对称，切变，旋转，都是线性变换。但是平移变换不是线性变换，不能写成如上形式。

为了统一上面的五种变换方式，我们引入齐次坐标的概念。

用N+1维向量来表示N维坐标，用向量的最后一位数来指明是点还是向量（1表示点，0表示向量）。

对于二维坐标系来说：

二维点 $(x, y, 1)^T$
二维向量 $(x, y, 0)^T$

矩阵的变换可以表示为：

$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \\ w’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + t_x \\ y + t_y \\ 1 \end{pmatrix}$

这样的话，我们可以表示平移。同时通过1或者0也能轻易分辨点还是向量。

在这种情况下，有如下运算：

点 + 点 = 点（表示两点的中点）
点 + 向量 = 点（表示点沿着某个向量移动）
向量 + 向量 = 向量
点 - 点 = 两点构成的向量

此外，在齐次坐标中，$\begin{pmatrix} x \\ y \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x/ \\ y/w \\ 1 \end{pmatrix} $

齐次坐标的二维变换如下：

逆变换

通常的旋转操作是绕坐标原点进行的。
旋转矩阵的逆 = 旋转矩阵的转置。

复杂变换

复杂的变换可以拆分为多个简单变换的组合。一个符合条件的操作矩阵可以拆分为多个操作矩阵的乘积。

对向量或者点进行复杂变换时，对应的操作矩阵都是左乘运算。

矩阵的乘法不满足交换律：按照同样的数值，先平移再旋转和先旋转再平移，得到的结果很可能不一样。这也符合矩阵的乘法。

矩阵的乘法满足结合律：我们可以先将操作矩阵乘起来，最终合成为一个操作矩阵。

三维变换

平移变换

$T(t_x, t_y, t_z) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

缩放变换与反射变换矩阵

$S(s_x, s_y, s_z) = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

旋转变换

$R_x(\alpha) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ R_y(\alpha) = \begin{bmatrix} \cos \alpha & 0 & \sin \alpha & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin \alpha & 0 & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ R_z(\alpha) = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

上面的旋转公式是绕坐标轴旋转，当绕任意轴旋转时：